Математические модели динамики ракет

28 ноября 2016

С целью повышения точности баллистических расчетов, синтеза законов управления и определения оптимальных траекторий, мы готовим к работе качественно новые математические модели динамики ракет!

В качестве основы для построения моделей приняты уравнения движения ракеты как точки переменной массы под действием сил тяги, аэродинамики и тяжести. Данный подход является классическим для подробного исследования движений летательных аппаратов.

Существуют различные по полноте и сложности варианты уравнений движения — это зависит от выбора того, какими эффектами возможно пренебречь, а какие являются существенными для решаемой задачи. Именно с помощью этого разделения мы выделяем две основных математических модели.

Первую модель назовем баллистической — она необходима для рассмотрения полета полноценного орбитального носителя, определения достижимых орбит и работы с траекториями выведения. Она базируется на системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая в общем виде выглядит следующим образом:

Система дифференциальных уравнений

В первых трех уравнениях присутствуют компоненты аэродинамических сил, сил тяги, тяжести и дополнительно учитываются эффекты, связанные с вращением Земли. Модель не включает в себя описание вращательного движения ракеты — в ее упрощающих предположениях принято, что система управления работает идеально и ракета точно следует необходимой траектории, которая задается программой изменения углов тангажа, рысканья и крена. Последнее уравнение описывает расход топлива.

В качестве основных входных параметров выступает:

  • число ступеней;
  • начальная и конечная масса каждой ступени;
  • секундный расход топлива или соответствующая функция;
  • удельный импульс двигателя на уровне моря и в вакууме.

В процессе интегрирования системы уравнений конкретные параметры определяются по номеру рабочей ступени, а также по вспомогательным зависимостям. В частности, для вычисления аэродинамических коэффициентов необходимо знать углы атаки, скольжения, воздушную скорость, плотность атмосферы и текущее число Маха.

Для удобства работы применяется множество различных систем координат

Существенное влияние на полет ракеты оказывает выбранная модель гравитационного поля Земли. В зависимости от решаемой задачи, возможно легкое переключение между моделями разного уровня сложности — от плоскопараллельного поля до модели с разложением по сферическим функциям.

По завершению активного участка траектории производится обработка результатов интегрирования и вычисляются параметры орбиты, на которую был выведен космический аппарат.

Итоговая орбита космического аппарата, запущенного с космодрома Байконур с азимутом 63.2


При использовании достаточно точных аэродинамических характеристик данная модель способна также предсказывать районы падения ступеней. Общая структура модели является классической для решения еще одной важнейшей проблемы баллистического проектирования — определения оптимальных траекторий.


Вторая математическая модель представляет ракету как тело со шестью степенями свободы. С учетом того, что угловое положение ракеты может принимать всевозможные положения, было решено перейти от углов Эйлера к кватернионному представлению — так можно избежать потенциальных проблем с вырожденными точками, где правые части уравнений обращаются в бесконечность. Таким образом, уравнения приобретают несколько иную форму:

Поскольку ключевой задачей данной математической модели является синтез управляющих законов для стабилизации ракеты, необходимо получить аэродинамические характеристики в связанной системе координат: силы сопротивления, подъемную и боковую силы, а также моменты — по крену, рысканью и тангажу. Их возможно представить в виде функции от числа Маха, угла атаки и углов отклонения рулей. Разумеется, в реальности зависимость оказывается куда сложнее. Аэродинамические характеристики определяются аналитически, численными методами (CFD), экспериментальными (продувки в аэродинамических трубах), а чаще всего — комбинируя все эти методы.

На данный момент мы готовим программу виртуальных аэродинамических испытаний композитной ракеты с применением методов вычислительной аэрогидродинамики.

Композитный «летающий стенд»

Важной особенностью рассматриваемых моделей является их высокая универсальность — данные дифференциальные уравнения применимы как для изготавливаемой сейчас нового «летающего стенда», корпус которого изготовлен из композитов, так и для будущих орбитальных носителей любой размерности. Вопрос заключается только в определении параметров.

Разработанные модели найдут свое применение при отработке системы управления летающих стендов и впоследствии будут дорабатываться и использоваться для различных имитационных испытаний всех последующих изделий.